The book offers a comprehensive exploration of finite fields, emphasizing their foundational aspects and algebraic closures. It introduces advanced topics rarely covered in textbooks, such as the primitive normal basis theorem, the existence of primitive elements in affine hyperplanes, and the Niederreiter method for polynomial factorization over finite fields. This self-contained monograph is designed for readers seeking a deeper understanding of these complex mathematical concepts.
The book delves into the significance of finite fields in both pure and applied mathematics, highlighting their roles in areas like coding theory and cryptography. It focuses on the Normal Basis Theorem, a pivotal result in field theory that ensures the existence of a basis for finite dimensional Galois extensions. The historical context includes K. Hensel's 1888 proof, while recent advancements emphasize the practical applications of normal bases in computational arithmetic, making their construction a key research area in finite field theory.
Dieses Buch vermittelt in der zweiten und komplett überarbeiteten Auflage eine gründliche Einführung in die für Informatiker wichtigsten Teildisziplinen der Mathematik. Es liefert das unverzichtbare mathematische Rüstzeug, das Studierende der Informatik für spätere Vorlesungen, insbesondere aus der theoretischen Informatik benötigen. Es behandelt dazu die Grundlagen der Analysis, der Algebra, der Elementaren Zahlentheorie, der Kombinatorik, der Linearen Algebra und der Wahrscheinlichkeitsrechnung, insbesondere der Diskreten Mathematik, wobei übergreifende Fragestellungen und Zusammenhänge hervorgehoben werden. Es erklärt mathematische Denkweisen, mathematische Sprache sowie Beweismethoden in anschaulicher Weise und festigt das mathematische Grundwissen zu einem tieferen Verständnis der wesentlichen mathematischen Ideen. Die theoretischen Grundlagen werden durch Praxisanwendungen aus der Codierungstheorie und der Kryptographie vertieft. Fachbegriffe werden anhand vieler Beispiele veranschaulicht. Durch die übersichtliche Darstellung und das Arbeiten mit grundlegenden Algorithmen wird nicht nur die konstruktive Denkweise geschult, es empfiehlt sich so in besonderer Weise auch ideal zum Selbststudium.Über 300 Übungen unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades unterstützen das aktive Arbeiten mit neu erlernten Begriffen sowie mit Rechenverfahren und Beweismethoden und helfen bei der Überprüfung des Lernerfolges.
