Zur Stabilität dynamischer Systeme mit stochastischer Anregung

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Die Vorgehensweise einer Stabilitätsanalyse stochastisch erregter dynamischer Systeme nach dem Konzept von Khas'minskii wird anhand dreier Beispiele vorgestellt. Die Stabilität der Lösung wird durch das Vorzeichen des größten Ljapunov-Exponenten bestimmt, der mittels der Fürstenberg-Khas'minskii-Gleichung ermittelt wird. Dazu ist die Kenntnis der stationären Verteilungsdichte des Systems erforderlich, die entweder durch direkte Integration des stochastischen Differentialgleichungssystems (Monte-Carlo-Simulation) oder als Lösung der zugehörigen Fokker-Planck-Gleichung gewonnen wird. Zunächst wird die Problematik parametererregter Systeme anhand gekoppelter Biege- und Torsionsschwingungen untersucht, wobei der Vergleich zweier Koordinatentransformationen im Vordergrund steht. Beide Transformationen führen zu einem System nichtlinearer stochastischer Differentialgleichungen mit einer einseitigen Entkopplung des instationären Lösungsanteils. Anschließend wird die Stabilitätsanalyse auf nichttriviale Lösungen nichtlinearer Systeme mit stochastischer Fremderregung ausgeweitet. Die Variationsgleichungen bilden zusammen mit den stochastischen Differentialgleichungen der untersuchten Lösung ein gekoppeltes Differentialgleichungssystem, das die Grundlage für die Berechnung des größten Ljapunov-Exponenten darstellt. In allen drei Beispielen zeigt sich, dass die verwendete Methode eine effektive Vorgehensweise zur Bestimmung des größten L