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Im Jahr 1927 entdeckte W. E. Berwick eine interessante Beziehung in der algebraischen Zahlentheorie, die zeigt, wie Primzahlen in imaginär-quadratischen Zahlkörpern agieren und sich in der Faktorisierung der singulären Werte von j widerspiegeln. Berwick konnte jedoch keinen Beweis für seine Vermutungen erbringen. Die vorliegende Dissertation bietet nun eine umfassende Antwort auf diese 75 Jahre alte Fragestellung. Es wird aufgezeigt, dass die von Berwick vermuteten Kongruenzen für die singulären Werte von j eng mit den Teilungspolynomen der Weierstrass'schen wp-Funktion verknüpft sind. Die Erkenntnisse basieren auf den normierten Teilwerten der wp-Funktion, die auf R. Schertz zurückgehen, sowie auf der Faktorisierung der singulären Werte von varphi, die von K. Ramachandra, R. Schertz und W. Bley bekannt ist. Diese Ansätze ermöglichen nicht nur die Behandlung von Berwicks Aussagen, sondern auch die Formulierung eines natürlichen Analogons seiner Fragestellung für beliebige Primzahlen. Darüber hinaus ergeben sich neue Kongruenzen für die Teilungspolynome, die erstmals von J. Cassels beobachtet wurden. Der zweite Teil der Arbeit widmet sich der globalen Konstruktion assoziierter Ordnungen, wobei die normierten wp-Teilwerte genutzt werden, um global erzeugende Elemente für lokal definierte Ordnungen anzugeben. Diese Ordnungen erscheinen in der Galoismodulstruktur der Ringklassenkörper auf natürliche Weise.
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Beweis der Kongruenzen von Berwick sowie deren Verallgemeinerung und weitere Anwendungen von Torsionspunkten auf elliptischen Kurven, Stefan Bettner
- Taal
- Jaar van publicatie
- 2004
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